Введение

   Книга представляет собой учебное пособие по комбинаторике и теории вероятностей. Она возникла на основе лекций по комбинаторике, информатике, теории вероятностей, которые ее автор в разные годы читал и продолжает читать на факультете биоинженерии и биоинформатики МГУ им. М.В. Ломоносова, в Школе Анализа Данных Яндекса, в Московском Физико-Техническом Институте и в совместном бакалавриате Российской Экономической Школы и Высшей Школы Экономики.   Предметы, которым посвящена книга, изложены в ней достаточно неформально, что позволяет читателю быстро понять их суть. Более детально в книге изложены те разделы, которые редко в подробностях обсуждаются в литературе. И наоборот, те разделы, которые легко изучать по стандартным  учебникам, в книге расписаны конспективно - со ссылками на класические источники.    Учебное пособие будет полезно студентам, начинающим специалистам и всем, кто интересуется основами комбинаторики и вероятности.

Введение

   Настоящая книга возникла как методическое пособие к курсам лекций, которые автор в разные годы читал и до сих пор читает на факультете биоинженерии и биоинформатики МГУ, на факультете инноваций и высоких технологий МФТИ, в совместном бакалавриате Российской экономической школы и Высшей школы экономики, в Школе анализа данных Яндекса. Все эти курсы объединены наличием в них базовой составляющей по комбинаторике и теории вероятностей. Иными словами, в основе каждого из них лежит некоторое количество простых понятий и фактов, которые возникают в указанных дисциплинах и без которых невозможно понимание более специфических — так сказать, «продвинутых» — результатов.   Многие из этих фактов и понятий есть в классических учебниках и монографиях. Однако, во-первых, они разбросаны по разным книгам, а во-вторых, помимо них, эти книги содержат и массу другой информации. Как следствие, оказывается, что нет удобного источника, где были бы собраны и надлежащим образом позиционированы эти и только эти факты и понятия. По сути предлагаемая книга заполняет этот пробел.   В книге сжато, лаконично и достаточно неформально вводятся все необходимые объекты и даются все необходимые утверждения о них. Если доказательство теоремы имеется в стандартном учебнике, то, как правило, оно не воспроизводится; на него лишь ставится удобная ссылка. Зато если доказательство мало доступно или нигде популярно не изложено, то ему уделяется значительное внимание. Например, так сделано в отношении формулы обращения Мёбиуса, которую мало где подробно обсуждают, или в отношении задач об оценках комбинаторных величин, которые крайне важны, но обычно возникают «сами собой» в чисто профессиональной литературе, и читатель вынужден догадываться, какие идеи за этим стоят.   Есть в книге и достаточно нетривиальные вещи, характерные для курсов автора. Например, в той части, которая посвящена теории вероятностей, обсуждаются формулы обращения, позволяющие выразить распределения дискретных величин через их моменты (это очень важно в приложениях: например, для случайных графов), а также мартингалы (в дискретном случае) и некоторые связанные с ними неравенства концентрации меры. Эти вещи описаны так же неформально и без чрезмерного углубления в детали, как и все остальное. Однако так и проще не потеряться в дебрях материала.   По аналогичному принципу устроены задачи, которые предлагаются в конце каждой темы.    Таким образом, книга позволит четко систематизировать информацию, разбросанную по разным учебникам и задачникам (а зачастую и просто недоступную), и даст тот ее минимум, который необходим для адекватного восприятия курсов по комбинаторике, информатике, теории графов, теории алгоритмов, теории вероятностей и др.