Учебное пособие основано на материалах лекций, прочитанных автором в 2010/2011 и 2011/2012 учебных годах студентам факультета математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики». Цель пособия — ознакомить читателя с некоторыми основными идеями современной математики, имеющими механические или физические мотивировки. Его особенностью, отраженной в названии, является целенаправленное использование геометрических, наглядных образов. Много внимания автор уделяет разбору конкретных примеров. Адресовано студентам третьего-четвертого годов обучения в бакалавриате по специальности «Математика». От читателей требуется владение материалом обычной программы первых двух курсов математических факультетов.