Монография посвящается исследованием задачам аналитической теории чисел, относящиеся к теории нулей функции Харди и её производных, лежащие на критической прямой, а именно задача о величине промежутка критической прямой в котором содержится нуль нечётного порядка функции Харди и её производных, сведена к проблеме отыскание экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм, примененяя метода оптимизации экспоненциальных пар, найдена нижняя грань длина промежутка критической прямой в которой, содержится нуль нечётного порядка функции Харди и её производных, получена новая оценка длины промежутка критической прямой, в котором содержится нуль нечётного порядка производной j–го порядка функции Харди.